Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles - F2School (2024)

Analyse 2 – Calcul intégral et Equations différentielles : Cours, Résumé, Exercices et Examens corrigés

L’analysemathématique est l’´étude approfondie du calcul différentiel et intégral.

L’intégraleest un des plus beaux et des plus puissants objets mathématique. Il s’agit sansaucun doute d’une des plus belles inventions de l’esprit humain. En effet, il s’agittout d’abord d’une pure création de l’esprit au sens où c’est un objet limite,obtenu en passant à la limite sur des subdivisions etc., pas un objet qui existedans la nature. Ensuite c’est un objet qui permet de calculer des choses très compliquées: pratiquement toutes les surfaces.

Imaginezcomment on s’y prenait il y a plusieurs siècles pour calculer des surfaces compliquées: on ne dispose en général que de peu d’outils ou de formules, on est obligé depasser par des approximations par des figures simples (comme les grecs avec ledisque qu’ils encadraient par des polygones réguliers). L’intégrale fournit uneréponse très puissante et extrêmement simple : il sut de calculer une primitiveet de prendre la différence de sa valeur en 2 points ! C’est vraimentsurprenant de simplicité.

Iln’y a pas un seul pan des sciences, qu’elles soient physiques, chimiques, biologiques,économiques, informatiques etc. qui ne fasse pas aujourd’hui un usage intensifde l’intégrale. C’est clairement un objet-clef de l’analyse mathématique et dessciences en général.

Ilexiste des théories plus ou moins fines de l’intégration. Des théories qui permettentde calculer l’intégrale de fonctions plus ou moins compliquées, ou de fonctionsqui vivent sur des espaces plus ou moins bizarres (mais nécessaires à un certainniveau).

Plan du cours N°1 d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Chapitre 1. Calcul Intégrale

1.1. Définition de l’intégrale d’une fonction continue

1.2. Premières propriétés de l’intégrale d’une fonction f sur un segment [a; b]

1.3. Intégrale d’une fonction bornée

1.4. Dérivation et Intégration

1.5. Techniques de calcul d’intégral

1.6. Formules de la moyenne

1.7. Formule de Taylor–Lagrange avec reste intégrale

1.8. Approximations d’Intégrales

1.9. Exercices 12

Chapitre 2. Intégrales généralisées

2.1. Définition des Intégrales généralisées

2.2. Etude de la convergence

2.3. Calcul des Intégrales généralisées

2.4. Exercices

Chapitre 3. Equations différentielles

3.1. Equations différentielles linéaires d’ordre 1

3.2. Equations se ramenant à une équation linéaire

3.3. Equations différentielles à variables séparées hom*ogènes

3.4. Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficientsconstants

3.5. Exercices

Plan du cours N°2 d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

1- Intégration

1.1 Fonctions en escalier

1.1.1 Subdivisions

1.1.2 Fonctions en escalier

1.1.3 Intégrales de fonctions en escalier

1.2 Fonctions Riemann-intégrables

1.2.1 Construction de l’intégrale de Riemann

1.2.2 Operations sur les fonctions intégrables

1.2.3 Intégrales et inégalités

1.2.4 Intégrales et produits

1.3 Familles de fonctions intégrables

1.3.1 Manipulation de fonctions intégrables

1.3.2 Monotonie

1.3.3 Continuité

1.3.4 Convention et relation de Chasles

1.4 Primitives et intégrales

1.4.1 Le théorème fondamental

1.4.2 Intégration par parties

1.4.3 Changement de variables

1.5 Quelques résultats

1.6 Sommes de Riemann, de Darboux, surfaces etc.

1.6.1 Sommes de Darboux

1.6.2 Sommes de Riemann

1.6.3 Estimation d’erreurs

1.6.4 Lien avec les surfaces

1.7 Intégrales de suites de fonctions

1.7.1 Ce qui ne marche pas

1.7.2 Limite uniforme

2- Dérivées d’ordre supérieures et applications

2.1 Dérivées successives

2.1.1 Définitions

2.1.2 Exemples

2.2 Fonctions convexes et dérivation

2.3 Les formules de Taylor

2.3.1 Rappels sur les comparaisons de fonctions

2.3.2 La formule de Taylor-Young

2.3.3 Développement des fonctions trigonométriques

2.3.4 Développement des fonctions puissances

2.3.5 Développement des fonctions logarithme et exponentielle

2.3.6 Taylor-Lagrange, reste intégral

2.4 Développements limites

2.4.1 Operations sur les développements limites

2.4.2 Applications aux équivalents et limites

3- Etude des courbes planes

3.1 Arcs plans et courbes planes

3.2 Etude des courbes planes

3.3 Les courbes planes en coordonnées polaires

3.4 Longueur de courbe plane

4 – Equations différentielles d’ordre 2

4.1 Equations hom*ogènes a coefficients constants

4.2 Equations a coefficients constants avec second membre

5 – Intégrales impropres

Ci-dessous les liens de téléchargement des cours et résumé d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Ci-dessous les liens de téléchargement des exercices et examens corrigés d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Voir aussi:

Liste des matières

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